Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается $C$ . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается $a$ .

Угол $A$ обозначается соответствующей греческой буквой $\alpha$ .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет $a$ , лежащий напротив угла $\alpha$ , называется противолежащим (по отношению к углу $\alpha$ ). Другой катет $b$ , который лежит на одной из сторон угла $\alpha$ , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c}$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle b}{\displaystyle c}$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

$tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle b}$

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

$tg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sin A}{\displaystyle \cos A}$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

$ctg \, A =\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \cos A}{\displaystyle \sin A}$

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонамии углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Таблица тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $\sin A = 0,1$ . Найдите $\cos B$ .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{\circ}$ , $\sin A = \cos B = 0,1$ .

2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AB=5$ , $\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}$ . Найдите $AC$ .

Имеем:

$\sin A = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle a}{\displaystyle c} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle BC}{\displaystyle AB} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25}$

Отсюда

$BC= \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 25} \cdot AB = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}$

Найдем $AC$ по теореме Пифагора.

$AC=\sqrt{AB^2-BC^2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 24}{\displaystyle 5} = 4,8$

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{\circ},\, 30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ или с углами $90^{\circ},\, 45^{\circ}$ и $45^{\circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами $90^{\circ},\, 30^{\circ}$ и $60^{\circ}$ катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами $90^{\circ},\, 45^{\circ}$ и $45^{\circ}$ — равнобедренный. В нем гипотенуза в $\sqrt{2}$ раз больше катета.

« Июнь 2025 »
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30