"

ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ для обучающихся 4-9 классов. Вел занятия Александр Шаниевич ШЕНЬ

РАСКРАСКИ ГИПЕРГРАФОВ  На факультете инноваций и высоких технологий МФТИ из года в год А.М. Райгородский читает для первокурсников "Основы комбинаторики и теории чисел". Некоторая его часть недавно была переработана в интернет-курс. Лекция посвящена нескольким ярким сюжетам из этого курса.

ФУНКЦИЯ И ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ МЁБИУСА   А.М. Райгородский

 

Геометрия дискриминанта

Квадратные трёхчлены x² + ax + b образуют двупараметрическое семейство: каждому из них соответствует точка плоскости с координатами (a;b). Дискриминантное условие a² = 4b можно рассматривать как уравнение кривой, разделяющей точки этой плоскости, соответствующие полиномам с разным числом корней. Такие же условия и аналогичные (но сложнее устроенные) разделяющие множества имеются и для уравнений более высоких степеней, а также для систем уравнений. Знать их геометрию очень полезно для исследования уравнений с параметрами и для многих других задач. Были нарисованы и объяснены дискриминантные множества для уравнений третьей и четвёртой степени — полукубическая парабола и ласточкин хвост — и результантая поверхность для системы двух квадратных уравнений — зонтик Уитни.

Доказали, что у вещественных уравнений третьей степени не существует общего решения, заданного непрерывной функцией от его коэффициентов. Лекцию читает ВИКТОР АНАТОЛЬЕВИЧ ВАСИЛЬЕВ

Есть видеозапись:
«1 Дискриминант многочлена третьей степени»;
«2 Несуществование непрерывного решения уравнения третьей степени»;
«3 Ласточкин хвост»;
«4 Зонтик Уитни»;
«5 Многочлен четвёртой степени и его производная».

 

Аддитивно-комбинаторные задачи и теорема Ван дер Вардена об одноцветной арифметической прогрессии

Аддитивная комбинаторика — молодая и активно развивающаяся область математики, находящаяся на стыке теории чисел и комбинаторики. Основной предмет этой науки — комбинаторные утверждения, в формулировках которых присутствуют операции сложения или умножения. Например, что можно сказать о свойствах множества A + A (множества всевозможных попарных сумм) зная свойства множества A, и наоборот?

Правда ли, что как бы мы ни раскрасили натуральные числа в конечное число цветов, у уравнения x + y = z найдётся такое решение, что x, y и z одного цвета?

Почему любое натуральное число представимо в виде суммы некоторого набора слагаемых, каждое из которых является простым числом или единицей, а общее количество таких слагаемых не превосходит некоторого конкретного числа?

Почему при любой раскраске натурального ряда найдётся сколь угодно длинная арифметическая одноцветная прогрессия?

Лекцию читает ИЛЬЯ ДМИТРИЕВИЧ ШКРЕДОВ

Есть видеозапись:
«1 Сумма двух множеств»;
«2 Количество элементов суммы двух конечных множеств не меньше уменьшенной на 1 суммы количеств элементов этих множеств»;
«3 Суммы не более чем трёх простых чисел»;
«4 Плотности подмножества натурального ряда»;
«5 План доказательства»;
«6 Плотность суммы не меньше суммы плотностей, из которой вычли произведение плотностей»;
«7 Теорема Шнирельмана»;
«8 Если сумма плотностей больше 1, то сумма — весь натуральный ряд»;
«9 Ван дер Варден, Семереди и Шур»;
«10 Два цвета и арифметическая прогрессия длины 3»;
«11 Разноцветный веер»;
«12 Начало доказательства теоремы Ван дер Вардена»;
«13 Завершение доказательства теоремы Ван дер Вардена».

 

Невидимость и биллиард

Можно ли сделать некоторый объект невидимым, расположив вокруг него зеркально отражающие поверхности? Хочется сделать невидимым не только этот объект, но и отражающие поверхности: вся конструкция должна полностью исчезнуть из поля зрения наблюдателя. Будет рассказано, как обеспечить невидимость из одной точки (наблюдатель смотрит одним глазом, зажмурив другой) и из двух точек (смотрит двумя глазами). Полная невидимость (когда наблюдатель, глядя на объект с разных сторон, ничего не видит) невозможна. Будет рассказано об этом и о некоторых других смежных вопросах.

Лекцию читает АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ ПЛАХОВ

Посмотрите иллюстрации.

Есть видеозапись:
1) «Невидимость и биллиард»;
2) «Тело, невидимое в одном направлении»;
3) «Оптические свойства эллипса, параболы и гиперболы»;
4) «Невидимость в двух направлениях»;
5) «Невидимость из точки»;
6) «Можно ли из зеркал сделать мантию-невидимку?»