Вариант 1.

Задание 1.

Задача №1.

В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD равны между собой. Точки M, P, K, T соответственно середины сторон AB, BC, CD, AD. Докажите, что MK перпендикулярна PT.

Доказательство:

При доказательстве воспользуемся следующим соображением:

Если две прямые соответственно параллельны двум взаимно перпендикулярным прямым, то эти прямые между собой перпендикулярны.

Так как диагонали в данном четырехугольнике равны, то он является прямоугольником.

(рисунок 1) 

АТ = TD (т.к. точка T- середина стороны АD)

AО = OC (т.к. диагонали при пересечении делятся пополам)

Тогда ТО средняя линия треугольника ADC. (рисунок 2)

Следовательно, TO || DC. 

Аналогично MO || AD. 

Прямые же AD и DC перпендикулярны между собой. 

Значит, MK перпендикулярна РТ. Что и требовалось доказать.

 

Задача №2.

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и  4 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до гипотенузы.

Решение:

При решении задачи воспользуемся известными фактами о том, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна ее половине и о том, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Рассмотрим треугольник АВС. Это прямоугольный треугольник (по условию). 

По теореме Пифагора найдем его гипотенузу:

АС = 5 (Дан так называемый "египетский треугольник")

АМ₁ = M₁C = BM₁ = 2,5 (т.к. ВМ₁- медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе).

ОМ₁ = 2,5 * 1/3 = 5/6 (т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1)

Треугольник ВСМ₂ -  прямоугольный с катетами 3 и 4 см. Значит, (СМ2)²=13 (по теореме Пифагора).

Тогда, воспользовавшись теоремой о пересечении медиан, найдем СО:

\(CO =\frac{2\sqrt{13}}{3}\)

Рассмотрим треугольник ОСМ_1. Треугольник разбит высотой ОН на два прямоугольных треугольника СОН и ОНМ₁, которые имеют общий катет ОН.

\[\frac{5}{6}^{2}-HM_{1}^2\]

\[(\frac{2\sqrt{13}}{3})^2-(2,5-HM_{1})^2\]