Математика- самый короткий путь - с 23 сентября по 30 сентября (с решениями)

РЕШЕНИЕ заданий на 23- 30 сентября

Неравенства и системы неравенств.

1. C 1 № 338566. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Преобразуем неравенство:

$\text{[math]}$

Произведение двух множителей меньше нуля тогда и только тогда, когда множители имеют разный знак, поэтому:

$\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Примечание.

Обратите внимание на то, что просто сократить на $\text{[math]}$ нельзя, поскольку не известен знак этого выражения.

2. C 1 № 338701. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Последовательно получаем:

$\text{[math]}$

Произведение двух множителей меньше нуля тогда и только тогда, когда знаки множителей различны, следовательно:

$\text{[math]}$

Ответ: [-1; 1].

3. C 1 № 311256. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Первая скобка отрицательна в силу цепочки неравенств:

$\text{[math]}$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Имеем:

$\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

4. C 1 № 151. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Перенесём две части неравенства в одну часть и раскроем скобки: $\text{[math]}$ приравняем левую часть к нулю и найдём корни. Отсюда $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Расставив корни на координатной прямой, определим знаки неравенства, отсюда: $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Источник: ГИА — 2013, вариант 1313

5. C 1 № 311237. Решите неравенство $\text{[math]}$ .

Решение.

1) Определим знак разности $\text{[math]}$ . Так как $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , то $\text{[math]}$ .

2) Получаем неравенство $\text{[math]}$ . Отсюда $\text{[math]}$ .

Ответ: $\text{[math]}$ . Другая возможная форма ответа: $\text{[math]}$ .

6. C 1 № 314588. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Умножим на 15, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

$\text{[math]}$

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

$\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

7. C 1 № 314592. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Умножим на 6, приведём подобные слагаемые и разложим на множители:

$\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

8. C 1 № 333318. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Преобразуем неравенство:

$\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

9. C 1 № 338633. Решите систему неравенств: $\text{[math]}$

Решение.

Решим первое неравенство системы:

$\text{[math]}$

Выражение $\text{[math]}$ всегда больше нуля поэтому данное неравенство эквивалентно неравенству $\text{[math]}$

Решим второе неравенство:

$\text{[math]}$

Пересекая решения обоих неравенств, получим, что решение системы отрезок $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

10. C 1 № 125. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Перенесём две части неравенства в одну часть и избавимся от знаменателя: $\text{[math]}$ приравняем левую часть к нулю и найдём корни. Отсюда $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ Расставив корни на координатной прямой, определим знаки неравенства, получаем: $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$

Ответ: (-∞; -0,75]U[3; +∞).

Источник: ГИА — 2013, вариант 1309

11. C 1 № 314578. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Раскроем скобки и решим неравенство:

$\text{[math]}$

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

$\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Источник: Банк заданий ФИПИ

12. C 1 № 338628. Решите неравенство $\text{[math]}$

Решение.

Заметим, что выражение $\text{[math]}$ отрицательно при любом $\text{[math]}$ пожтому на это выражение можно сократить, поскольку оно отрицательно знак неравенства сменится на противоположный: $\text{[math]}$